动力学基础理论概述

• 动力学典型工程应用

  ♢ 机械装备

  ♢ 土木建工

  ♢ 生物力学

  ♢ 自然现象

图1 典型振动问题

• 研究内容

  ♢ 已知载荷激励，计算结构响应(正问题)

  ♢ 已知结构响应，分析载荷激励(反问题)

• 研究方法

  ♢ 理论解析法

  ♢ 实验法

  ♢ 计算仿真数值法

• 动力学分类

  ♢ 详见图1

图2 动力学分类

• 隐式动力学

  ♢ 隐式算法采用平衡迭代法计算

  ♢ 每一计算步需要控制收敛性，计算量大，无累计误差

  ♢ 线性问题，若参数满足设定范围，为无条件稳定

  即时间步长不影响计算稳定性

  ♢ 非线性问题，采用NR逼近算法，高度非线性收敛困难

• 显式动力学

  ♢ 显示算法采用差分法计算

  ♢ 不计算切线刚度，无须平衡迭代，计算快

  ♢ 时间步长必须小于材料波速

  ♢ 容易激发沙漏现象

图4   WorkBench显式动力学模块

• 静力学

  ♢ 激励与结构响应不随时间改变或变化缓慢

  ♢ 计算不考虑惯性、阻尼效应

  ♢ 激励频率远离结构共振频率

• 动力学

  ♢ 激励随时间改变

  ♢ 结构惯性、阻尼效应对结构响应起关键影响

  ♢ 激励频率接近结构共振频率

图3   WorkBench静力学与隐式动力学模块

• [M]{u ̈}+[C]{u ̇}+[K]{u}={f(t)}   (3-1)

  ♢ [M]=结构质量矩阵

  ♢ [C]=结构阻尼矩阵

  ♢ [K]=结构刚度矩阵

  ♢ {u}=节点位移向量

  ♢ {u ̇}=节点速度向量

  ♢ {u ̈}=节点加速度向量

  ♢ {f(t)}=结构载荷向量

t~∆t时间区域内，NewMark采用下列迭代假设

NewMark算法求解

• 初始计算

  ♢ 形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C]

  ♢ 给定初始τ0时刻，位移υ0、速度Ù0、加速度Ü0

  ♢ 选择时间步长∆t，NewMark参数α, δ，计算积分常数c0~c7

  ♢ 算法要求，此时算法无条件稳定

  ♢

  ♢

  ♢ 形成有效刚度矩阵[K ̃]=[K]+c0[M]+c1[C]

  ♢ 三角分解[K ̃]=[L][D][L]T

NewMark算法求解

• 迭代计算(t=0,∆t,2∆t,...)

  ♢ 计算t+∆t时刻有效载荷

  ♢

  ♢ 计算t+∆t时刻位移

  ♢

  ♢ 计算t+∆t时刻速度与加速度

  ♢

  ♢

• NewMark法在求解迭代过程，每一迭代步须计算等效刚度矩阵逆矩阵

• 
  ，算法无条件稳定

♢ 推荐时间步∆t，为结构最小固有周期的1/10~1/20

• 模态计算阻尼设置-阻尼典型产生因素

  ♢ 粘性阻尼

  ♢ 材料常见阻尼

  ♢ 粘性阻尼可导致系统能量耗损

  ♢ 影响因素：结构形状、流体动力粘度、运动速度、振动频率

  ♢ 库伦阻尼或干摩擦阻尼

  ♢ 润滑(无润滑状态)滑动摩擦

  ♢ 与运动方向相反

  ♢ 通过摩擦系数定义

  ♢ 材料阻尼、固体阻尼、滞后阻尼

  ♢ 固体材料变形，材料内部晶格位错或滑移导致

  ♢ 影响因素：位移或应变

  ♢ 数值阻尼

  ♢ 人工定义阻尼，方便计算

• 模态计算阻尼设置-模态计算阻尼分类

• 

• α=结构全局质量阻尼：对低频段振动影响较大，对高频段振动影响微小，产生机理属于粘性阻尼

• αi=材料质量阻尼：同上，定义局部材料阻尼性质

• β=结构全局刚度阻尼：对低频段振动影响较小，对高频段振动影响较大，产生机理属于粘性阻尼

• βj=材料刚度阻尼：同上，定义局部材料阻尼性质

• Ck=单元阻尼：单元集中阻尼，包括弹簧单元阻尼、运动副阻尼、轴承阻尼

• Cl=陀螺阻尼：主要用于计算转子系统临界转速