动力学仿真之模态分析

1. 模态分析典型工程应用

• 应用目的

  ▌获取结构固有频率、振型、参与系数等数据

  ▌设计、优化产品动力学特性

  ▌避免结构共振或在某指定频率下利用共振

  ▌掌握产品固有振动特性

图1 结构共振与模态分析应用

2. 模态分析基础理论

• 结构线性假设

  ▌忽略几何大变形(无几何非线性)

  ▌仅考虑线弹性材料(无材料非线性)

  ▌忽略接触变化(无接触非线性)

  ▌具有恒定质量矩阵与整体刚度矩阵(不随时间空间改变)

• 结构无外载荷，处于自由激励状态

  ▌仅需给定合理几何约束条件

  ▌几何约束影响结构整体刚度矩阵

图2 WorkBench模态模块

图3 ANSYS经典环境模态模块

• 无阻尼模态基础理论

  ▌无阻尼线性结构自由振动控制方程

  ▌[M]{u ̈}+[K]{u}={0} (2.1)

  ▌[M]=总体质量矩阵

  ▌[K]=总体刚度矩阵

  ▌{u}=节点位移列阵

  ▌{u ̈}=节点加速度列阵

• 假设结构响应为简谐运动

  ▌{u}={ϕ}sin(ωt+θ)

  ▌{u ̈}=−ω^2{ϕ}sin(ωt+θ)

• 将位移与加速度方程代入控制方程

• ([K]−ω^2[M]){ϕ}={0} (2.2)

  ▌方程(2.2)中，若

  ▌{ϕ}=0，则结构无运动

  ▌{ϕ}≠0，则对应特征值问题控制方程为

• det([K]−ω^2[M])={0} (2.3)

  ▌特征方程(2.3)，可得到n个特征值与特征向量解

  ▌特征值={ω_1^2, ω_2^2, ...,ω_n^2}

  ▌特征向量={{ϕ}_1, {ϕ}_2, ...,{ϕ}_n}

  ▌其中，n=模态阶数

• 无阻尼模态基础理论

  ▌固有频率与固有圆频率

  ▌固有频率(natural frequency)：又称自然频率，结构响应随时间谐波变化，振动频率与初始条件无关，仅与系统固有特性相关，该振动频率称为固有频率(Hz)

  ▌固有圆频率(natural circular frequency)：又称角频率，2π秒内结构振动次数(Hz/2π)

  ▌固有频率f与固有圆频率ω转换关系：f=ω/2π

• 振型

  ▌振型表示结构振动形状

  ▌值没有绝对意义

  ▌模态叠加时需要归一化处理

图4 周边固支圆板第4阶模态振型图

• 无阻尼二自由度弹簧振子系统模态分析

• 模态频率理论解

• 
• 
• 
• 

• 仿真数值解

• 

图5   二维弹簧振子系统1、2阶模态振型动图

• 含阻尼模态理论基础

  ▌含阻尼线性结构自由振动控制方程

  ▌

  ▌[C]=系统阻尼

  ▌设(2.4)形式解为，代入(2.4)

  ▌

  ▌(2.5)存在非0解的充要条件为

  ▌可得一对共轭解

• 共轭解说明

  ▌σ_i=复数特征值实部，表示系统稳定性

  ▌σ_i<1，表示系统稳定

  ▌σ_i>1，表示系统发散

  ▌ω_i=复数特征值虚部，表示系统固有频率

• 含阻尼复模态计算结果说明

  ① Damped Frequency：固有频率(虚部)

  ② Stability：稳定性(实部)

  ③ Modal Damping Ratio：模态阻尼比

  

• ④ Logarithmic Decrement：对数衰减率

  表示任意连续响应峰值之比值

  

• 模态计算阻尼设置-阻尼典型产生因素

• 粘性阻尼

  ▌材料常见阻尼

  ▌粘性阻尼可导致系统能量耗损

  ▌影响因素：结构形状、流体动力粘度、运动速度、振动频率

• 库伦阻尼或干摩擦阻尼

  ▌润滑(无润滑状态)滑动摩擦

  ▌与运动方向相反

  ▌通过摩擦系数定义

• 材料阻尼、固体阻尼、滞后阻尼

  ▌固体材料变形，材料内部晶格位错或滑移导致

  ▌影响因素：位移或应变

• 数值阻尼

  ▌人工定义阻尼，方便计算

• 模态计算阻尼设置-模态计算阻尼分类

• 

  ▌α=结构全局质量阻尼：对低频段振动影响较大，对高频段振动影响微小，产生机理属于粘性阻尼

  ▌αi=材料质量阻尼：同上，定义局部材料阻尼性质

  ▌β=结构全局刚度阻尼：对低频段振动影响较小，对高频段振动影响较大，产生机理属于粘性阻尼

  ▌β_j=材料刚度阻尼：同上，定义局部材料阻尼性质

  ▌C_k=单元阻尼：单元集中阻尼，包括弹簧单元阻尼、运动副阻尼、轴承阻尼

  ▌C_l=陀螺阻尼：主要用于计算转子系统临界转速

• 全局Rayleigh阻尼

• 全局质量阻尼

  ▌计算模型中，如果包含大质量质点，则α会引起极大计算误差

• 全局刚度阻尼

  ▌计算模型为非线性分析时，刚度矩阵随时间变化，β可能会引起较大计算误差

• Rayleigh阻尼

  ▌α质量阻尼与β刚度阻尼共同构成Rayleigh阻尼

  ▌Rayleigh阻尼中，阻尼比定义为

  ▌Ex. 模型关注最小频率f₁=10 Hz，最大频率f₂=100 Hz

  ▌阻尼比ζ=0.05

图6 WorkBench全局Rayleigh阻尼设置

图7 WorkBench全局Damping VS. Frequency阻尼设置

• 材料Rayleigh阻尼

  ▌适用性

  ▌适用于不同材料装配体，对不同材料设置材料Rayleigh阻尼

• 设置方法(如图8、9所示)

图8 WorkBench材料Rayleigh阻尼设置

图9 WorkBench材料Rayleigh阻尼APDL设置

• 单元阻尼

  ▌Joints运动副单元

  ▌运动副类型：Revolute/Cylindrical(如图9所示)

• Spring弹簧单元(如图11所示)

• Bearing轴承单元(如图12所示)

图10 WorkBench运动副单元阻尼设置

图11 WorkBench弹簧单元阻尼设置

图12. WorkBench轴承单元阻尼设置

• 陀螺阻尼

• 转子动力学控制方程[M]{u ̈}+([G]+[C]){u ̇}+([K]−[K_c]){u}={F} (2.7)

  ▌[G]=由于结构旋转而产生的“阻尼”矩阵，在旋转坐标系中通常称为科里奥利矩阵，在静止坐标系中称为陀螺矩阵

  ▌[K_c]=由于结构旋转而产生的自旋软化矩阵，它改变了旋转坐标系中结构的表观刚度

• CORIOLIS APDL操作

  ▌CORIOLIS, Option,,,RefFrame,RotDamp,RotMass

  ▌Option=1，激活科里奥效应；=0，关闭科里奥效应

  ▌RefFrame=1，激活静态参考系；=0，关闭静态参考系

  ▌RotDamp=1，激活旋转阻尼效应；=0，关闭旋转阻尼效应

  ▌RotMass=1，激活打印转子系统总质量；=0关闭该功能

图13   WorkBench陀螺阻尼设置

• 参与系数与有效质量

  ▌参与系数(ANSYS Help Theory Reference 15.7.5)

  ▌PARTIC. FACTOR表示某阶振型参数与振动的权重系数

  ▌RATIO参数系数比率，表示各阶振型参与系数与一阶振型参与系数之比的绝对值

  ▌一般情况，振型越高，振型参与系数越小，因此实际工程中往往忽略高阶振型

  ▌模态基础激励参与系数

  ▌γi=第i阶参与系数

  ▌ϕ_i=第i阶振型矢量

  ▌[M]=质量矩阵

  ▌{D}=激励方向矢量

图14 模态振型参与系数结果

▌有效质量(ANSYS Help Theory Reference 15.7.7)

▌EFFECTIVE MASS有效质量

▌若质量矩阵归一化，{ϕ_i}^T[M]{ϕ_i}=1

▌Ratio EFF. Mass to Total Mass有效质量与总质量比

▌理想情况，各方向振型有效质量之和等于结构总质量

图15 模态振型有效质量结果

• 无阻尼模态算法

• Direct直接算法

  ▌即Block Lanczos法

  ▌求解速度快，采用稀疏矩阵求解器

  ▌适用于大型模型多阶模态

  ▌网格适应性好

  ▌适用于实体、壳体或实体壳体混合单元

• Iterative迭代算法

  ▌即PCG Lanczon法，将PCG迭代求解与Lanczos算法结合

  ▌适用于大型模型(20万节点以上)，但模态提取较少的情况

  ▌网格质量要求高

图16 WorkBench模态无阻尼Direct算法

图17 WorkBench模态无阻尼Iterative算法

• Unsymmetric非对称算法

  ▌适用于质量矩阵与刚度矩阵为非对称的情况(如热固耦合、流固耦合等)

  ▌可得到复特征值，实部代表稳定性，虚部代表固有频率

  ▌该算法不进行Sturm排序，可能会丢失高阶模态

• SuperNode超节点算法

  ▌该算法须输入提取模态频率范围

  ▌适用于大型对称矩阵模型，一次性求解模态超过1000阶

  ▌建议频率范围上限不超过1.0e5 Hz

  ▌当提取模态阶数≥200，该算法比直接法与迭代法块

图18   WorkBench模态无阻尼Unsymmetric算法

图19 WorkBench模态无阻尼SuperNode算法

• Subspace子空间算法

  ▌适用于计算中型~大型模型，且提取模态书较少

  ▌需要内存较小

  ▌实体、壳体单元要求较好的单元形状

  ▌计算过程，需要对任何单元形状警告予以注意

  ▌模型中包含刚体振型，可能会出现收敛性问题

  ▌不推荐具有约束方程时，采用该算法

图20 WorkBench模态无阻尼SubSpace算法

• 含阻尼模态算法

• Full Damped完全阻尼算法

  ▌适用于阻尼器或阻尼矩阵无法忽略的情况

  ▌采用结构整体完全质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵

  ▌采用Lanczos算法求复特征值于复特征向量

  ▌不进行Sturm排序，可能会丢失高频模态

• Reduced Damped缩减阻尼算法

  ▌该算法采用无阻尼系统少量特征向量，通过模态变换近似表示前几阶复模态特征值

  ▌适用于大型低阻尼系统模态计算

  ▌采用Sturm排序，不会丢失高频模态

图21 WorkBench模态含阻尼Full Damped算法

图22 WorkBench模态含阻尼Reduced Damped算法

• 模态计算接触设置

  ▌模态计算中可定义接触，但因为计算为线性分析，因此模态计算中接触定义于非线性分析中接触定义不同，具体设置如下

3. 模态计算约束条件

• 约束条件(1)

• Rotational Velocity旋转速度

  ▌须激活陀螺效应

  ▌主要用于转子系统临界转速分析

  ▌普通模态分析，不适用该条件

• Thermal Condition温度边界条件

  ▌热条件载荷

  ▌属于体载荷

  ▌适用于热预应力模态计算

图23 WorkBench旋转速度与温度条件设置

• 约束条件(2)

• Fixd Support固定位移约束

  ▌固定支撑边界条件

  ▌属于强约束，除约束节点位移，还约束节点温度、压力等多物理场变量，对于耦合问题慎用

• Dispalcement位移约束

  ▌可约束x、y、z三个方向位移

  ▌仅约束节点位移

  ▌属于弱约束，适用于多物理场耦合分析

图24 WorkBench固定支撑与位移约束设置

• 约束条件(3)

• Remote Displacement远端位移

  ▌可配合远端点，实现节点位移约束

  ▌可约束节点六个位移自由度，包括三个平动与三个转动

  ▌力学行为包括刚体、变形体、耦合与梁

• Frictionless Support无摩擦支撑

  ▌接触面法向、切向自由，约束其余节点自由度

  ▌仅能作用于面

  ▌经常被用作对称面约束

图25 WorkBench远端位移与无摩擦支撑设置

• 约束条件(4)

• Compression Only Support仅受压支撑

  ▌为非线性支撑

  ▌模态分析中，退化为无摩擦支撑条件

  ▌被约束面切向、法向自由

  ▌约束法线方向可由程序或手动定义

• Cylinderical Support圆柱支撑

  ▌该约束条件仅适用于圆形面

  ▌分别约束径向、轴向与切向位移

图26 WorkBench仅受压支撑与圆柱支撑设置

• 约束条件(4)

• Elastic Support弹性支撑

  ▌仅为面支撑

  ▌可设置基础接触刚度

  ▌接触法线方向，程序控制

图27 WorkBench弹性支撑设置

图28 WorkBench模态约束条件分类

4. 循环对称模态分析

• 循环对称模态(1)

• 基本术语定义

  ▌以某个轴为中心，能够以结构某一部分重复多次，生成结构整体，为循环对称结构

  ▌可通过对循环体建模计算整体结构模态

  ▌循环体中，用以建模部分称为基本区

  ▌如图27，正确的扇形区，能够在全局柱坐标系，或自定义柱坐标系中，重复N次，生成整体模型

  ▌基本扇区的圆心角，称为扇区角

图29 循环对称扇形区模型

• 循环对称模态(2)

  ▌循环对称局部坐标系定义

  ▌局部坐标应选择柱坐标

• 循环对称扇形区低边与高边

  ▌低边：扇形区起始边(面)，蓝色

  ▌高边：扇形区终止边(面)，红色

图30 循环对称扇形区模型对称设置

• 循环对称模态(3)

• 循环对称模型网格划分

  ▌Model->Mesh->Insert->Match Control

  ▌低边与高边节点与单元匹配时，计算结果更加准确

  ▌推荐适用Match Control网格匹配控制

图31 循环对称扇形区网格匹配设置

• 循环对称模态(4)

• 节径

  ▌模态振型中位移等于0的线

  ▌一条节径通常在周向引起一个振动波，两条节径通常在周向引起两个振动波，以此类推

• 节径作用

  ▌循环对称结构，由于只模拟一个基本扇面，须通过节径数定义提取模态频率范围

  ▌结构的第阶振型通常是低节径数的第阶振型

• Harmonic Index谐波指数

  ▌为包含0的整数

  ▌反应扇形区节径数

图32 循环对称扇形区谐波指数与固有频率

• 循环对称模态(5)

• 节径 VS. 振型

c.1阶模态2节径

图33 循环对称扇形区1阶模态不同谐波指数振型图

5. 预应力模态分析

• 预应力模态工程应用

• 考虑非线性因素模态分析

  ▌几何大变形

  ▌材料非线性

  ▌摩擦、接触非线性

• 预应力(线性摄动)模态分析

  ▌第一步，进行静力学分析，包含各种非线性因素

  ▌第二步，进行模态分析，将静力学分析条件固化，将静力学计算某一步结果，作为模态计算刚度矩阵，以预应力形式读入模态求解模块

  ▌第三步，进行模态分析

图34 WorkBench预应力分析流程图

• 预应力模态基础理论

• 非线性静力学方程[K_NL]{u}={F^a} (5.1)

• [K_NL]=非线性刚度矩阵

• {u}=结点位移

• {F^a}=载荷矢量

• 通过Newtown-Raphson迭代求解(5.1)

• (5.2)

• [K^T_{NL i}]=雅可比矩阵，即切向矩阵，对于非线性问题，该矩阵为{u}的函数

• i=当前平衡迭代步

• {Fⁱ_nr}=单元内部载荷存储向量

• 总体切向刚度矩阵
  

• 
• 

  =材料矩阵，对于非线性材料模型，只能考虑材料线性部分性质

• 

  =考虑摩擦接触贡献刚度

• 

  =考虑外部随动载荷贡献刚度

• 

  =考虑大变形贡献刚度

• 湿模态定义

  ▌湿模态：模态分析时需考虑液体对结构影响

  ▌干模态：默认真空(或空气)环境，结构模态分析

  ▌湿模态计算需采用声固耦合分析

  ▌声固耦合区，程序将计算节点声压与节点位移耦合

  ▌

  ▌湿模态阻尼与算法

  ▌如图36所示

图35.WorkBench湿模态分析流模块

图36 WorkBench湿模态分析阻尼-算法设置