收藏清单|自由振动相关知识

1、自由振动与强迫振动有什么区别?

1）、自由振动：

自由振动是在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后,它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动,这种振动叫做自由振动、作振动的系统在外力的作用下物体离开平衡位置以后就能自行按其固有频率振动,而不再需要外力的作用，这种不在外力的作用下的振动称为自由振动，理想情况下的自由振动叫无阻尼自由振动。自由振动时的周期叫固有周期,自由振动时的频率叫固有频率，它们由振动系统自身条件所决定，与振幅无关。

2）、受迫振动：

受迫振动也称强迫振动．在外来周期性力的持续作用下,振动系统发生的振动称为受迫振动，这个“外来的周期性力”叫驱动力(或强迫力)，物体的受迫振动达到稳定状态时，其振动的频率与驱动力频率相同，而与物体的固有频率无关。

而自由振动能自行按其固有频率振动,而不再需要外力的作用。

2、分离变量法求解有界弦自由振动的混合问题遵循以下步骤：

1）、分离变量

将U(x,t)=X(x)T(t)代入自由振动方程得到x(x)和T(t)分别满足的二阶常微分方程；不顾初始条件，先要求U(x,t)满足边界条件（两固定端的位移为零），可得到x(x)必须满足的边界条件。

这里需要注意的是U(x,t)=X(x)T(t)代入的是齐次方程和齐次边界条件！

2）、解常微分方程的边值问题，求固有值λ

求解X(x,t)满足的二阶常微分方程的通解得Xn=Acoskx+Bsinkx,由边界条件可确定k的值nπ/l，以及通解X的简化形式Bsin（nπx/l）.其中保证常微分方程有非零解的λn=（nπ/l）2称为固有值，而Bsin（nπx/l）称为固有函数

然后把λn=（nπ/l）2代入确定T的常微分方程，即求得相应的函数Tn(t)=Cncos(anπt/l)+Dnsin(anπt/l)

从而得到一族分离变量的特解：

Un(x,t)=Xn(x)Tn(t)=[Cncos(anπt/l)+Dnsin(anπt/l)]sin（nπx/l）

3）、特解Un(x,t)的叠加

虽然每一个n对应的特解Un(x,t)都是原有界限自由振动方程的解，但是它们单独符合初始条件一般是办不到的，而把所有的特解叠加到一起却有可能通过选择适当的系数使之符合初始条件。

4）、确定系数Cn和Dn

由∑Un(x,t)必须满足的初始条件可得到以Cn和Dn为系数的关于初始位移和初始速度的正弦表达式。由正弦展开的系数公式就可以求得Cn和Dn.于是就可以确定Un(x,t)的精确表达式。

有界和无界弦自由振动的比较：无界弦自由振动问题的解可以用d'Alembert公式进行表示，但是有界弦自由振动的混合问题通过奇延拓，再周期延托至负无穷到正无穷，可成为一个无界弦振动问题，因此，其位移也可以用d'Alembert公式进行表示

有界弦自由振动解的物理意义是：Un(x,t)是由一系列频率不同、位相不同、振幅不同的驻波的叠加。

3、阻尼对自由振动有什么影响

阻尼振动是相对自由振动来说的。自由振动仅受恢复力作用而振动，而阻尼振动既受到恢复力作用，又受到阻尼作用（与运动方向相反），它实际上是一种衰减振动。

在小阻尼作用下，振动周期增大，频率降低，振幅迅速减小，小阻尼振动情况下，一般近似认为振动的第一个周期跟自由运动周期相同。在阻尼运动中，有一个表征阻尼对自由振动影响的量，叫阻尼比，阻尼比是阻尼系数与自由振动固有频率的比值。阻尼比越大，振幅衰减系数越大，振幅衰减的越快。实际上，在阻尼振动中，即使小阻尼情况，振幅的衰减就很大了。

当阻尼系数大于或者等于自由振动圆频率时，运动已经没有振动的特性了，随着时间的增大，系统趋近于平衡位置。

4、无阻尼自由振动，结构的运动方程里面的参数

M*q''[t]+k*q[t]=0，其中q是指位移，q(t)表示位移是时间的函数，即随时间发生变化。q''[t]表示位移的二阶导数，即加速度。

5、自由度算振动时为什么要乘2?

自由度没有变，而是在计算平均动能时，每一个平方项对应一个1/2kT，每一个平动和转动自由度只有一个平方项，而每一个振动自由度既要考虑振动动能又要考虑到振动势能，有两个平方项，所以计算时要乘二

6、自由振动和自激振动的区别是什么？

自由振动：在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。简单说自激振动初始状态为不动或只有些微的振动，由于外界驱动下可以自发的激励起来某个模式或多个模式，随着耗散和驱动而其中一个或几个模式增长，其他消亡。自激振动的频率一般就是自由振动频率，但是由于要维持振动就必须有能量的输入，一般说来自激振动是非线性过程。常见的自激振动如机械表、风吹过某腔体而发声等；自由振动指无外加驱动，当系统偏离平衡状态而引起的振动，这个例子很多，如钟摆拉离平衡点引起的摆动，扔块石子在水面后引起的水波自由振动等。区别：一个有持续或多次能量馈入，有耗散，振动可维持，一般为非线性过程。一个可以称之为只有一次能量馈入，当有耗散时最终振动会停止，自由振动只是与系统自身相关，可能线性也可能非线性。自由振动和自激振动的本质区别在于，自由振动的激励来自外界，并且只在初始受激励；而自激振动的激励来自自身，并一直存在。

7、阻尼对单自由度体系自由振动的影响分三种情况：

1）、欠阻尼情况（阻尼比小于1）：周期增大，频率减小，振幅成指数衰减，一直不停地作衰减振动；也只有这种情况，物体还能继续振动。

2）、临界阻尼情况（阻尼比等于1）：不能继续振动，振幅急剧衰减，物体很快回到平衡位置。

3）、过阻尼情况（阻尼比大于1）：同 临界阻尼的情况一样。

8、结构试验中采用自由振动的方法来测试结构动力特性的原理是什么

自由振动能反应的是结构的固有特性，而动力特性这里应该是受迫振动体现的性质，所以根据振动理论，任意振型都可以用自由振动特征向量组表示出来，因此只要知道动力参数，就能求出结构的动力响应。