1    平面有限元分析技术问题概述

有限元分析技术目前已经非常成熟，但是有限元在解决结构分析问题时，一般的FEA工程师往往忽略了两个基本概念，而这些基本概念是理解有限元分析技术的重要思路。工程结构分析中，当结构的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和力学抽象化处理，就可归结为所谓的平面问题。这类问题的特点在于：一切现象可看作是在一个平面内发生的，因而在数学上属于二维问题。当一个三维问题可简化为二维平面问题时，将使我们的计算大大简化。

平面问题分为两类：平面应变问题和平面应力问题。平面应变问题也称平面位移问题，下面分别从多个方面对比区分这两类问题。

2    两个实例结果比较

2.1  实例说明

下面通过两个实例来介绍平面问题在实际工程中的应用，并将二维计算结果与三维计算结果进行对比。

2.1.1 平面应变问题

分析如图所示重力坝在自重和蓄水压力作用下的结构响应。坝长为50m，坝体截面尺寸如下图所示，坝体材料弹性模量为30GPa，泊松比0.3，密度为2000Kg/m³，约束坝体底部和两侧端面，选取坝体中间截面与平面应变解对比。

下图为计算得带的坝体截面位移解和Mises等效应力解，左侧为三维计算结果，右侧为平面应变计算结果。由云图可以看出，两种计算结果很接近。

为进一步对比位移解、应力解和应变解的差异，现将计算得到的各位移分量、应力分量和应变分量汇总如下表所示。由相对误差值可以看出，平面应变解与三维解非常接近，最大误差均为超过1%，而由三维解得到的z方向相关解与面内其它解比较很小，可完全忽略。故平面应变解完全能够反映真实的三维解。

2.1.2  平面应力问题

分析如图所示圆盘在边缘均布压力作用下的结构响应。圆盘半径为20mm，厚度为1mm，边缘施加10MPa的均布压强，圆盘材料弹性模量为210GPa，泊松比为0.3。

下图为计算得带的盘面位移解和Mises等效应力解，左侧为三维计算结果，右侧为平面应力计算结果。由云图可以看出，两种计算结果很接近。

为进一步对比位移解、应力解和应变解的差异，现将计算得到的各位移分量、应力分量和应变分量汇总如下表所示。由相对误差值可以看出，平面应力解与三维解几乎一致，而由三维解得到的z方向相关解与面内其它解比较很小，可完全忽略。故平面应力解也能完全反映真实的三维解。

3    总结与说明

本文从几何、受力、应力、应变和位移等方面对比了平面应变问题和平面应力问题的本质特征，并通过具体算例验证了用平面问题简化计算的可靠性。由于本文只是研究两者的特性，在实际工程中，一样考虑每一种技术的应用背景，这样就不至于把两种情况弄混淆了