• 弹性回顾:

• 讨论塑性之前，先回顾一下金属的弹性。

延性金属中也会遇到非弹性或塑性响应。

超过屈服应力是塑性区域，塑性区域中卸载后残留一部分永久变形。

如果考虑在分子层次上发生了什么，塑性变形是由于剪切应力(偏差应力)引起的原子平面间的滑移引起的。位错运动的实质是晶体结构中的原子重新排列得到新的相邻元素,  从而导致不可恢复塑性应变。

值得注意的是,  与弹性不同, 滑移不会引起任何体积应变 (不可压缩条件)。

- 因为塑性处理由于位移引起的能量损失，所以它是非保守(路径相关) 过程。

- 延性金属支持比弹性应变大得多的塑性应变。

- 弹性变形实质上独立于塑性变形，因此产生的超过屈服点的应力仍产生弹性和塑性应变。因为假设塑性应变不可压缩，所以材料响应随着应变增加变为几乎不可压缩 。

率无关塑性:

• 如果材料响应和载荷速率或变形速率无关，称材料为率无关。

工程和真实应力应变:

-工程应力-应变用于小应变分析，但对于塑性必须用真实应力-应变，因为它们是材料状态更具代表性的度量。

如果引入工程应力-应变数据，则可以用下面的公式把这些值转换为真实应力-应变:

达到屈服应变的两倍以前:

发生颈缩以前:

超过颈缩:
在颈缩处没有工程和真实应力-应变转换公式。必须测量瞬时的横截面。

注意，仅对应力转换，有以下假设:

材料是不可压缩的 (大应变可接受的近似值)

假设试样横截面的应力均匀分布。

屈服准则:

屈服准则用于把多轴应力状态和单轴情况联系起来。

常用的屈服准则是von Mises 屈服准则  (也称为八面体剪切应力或变形能准则)。von Mises 等效应力定义为:

写成矩阵形式

式中 {s} 是偏差应力， sm 是静水应力

应力状态可分解为静水压力(膨胀)和偏差(变形)分量。静水压应力和体积改变能有关，而偏差应力和形状改变有关。von Mises 屈服准则说明只有偏差分量 {s} 引起屈服。

若在 3D 主应力空间中画出,  von Mises 屈服面是一个圆柱体。

圆柱体以s1=s2=s3为轴排列。

注意如果应力状态在圆柱体内，不发生屈服。这意味着如果材料在静水压力下 (s1=s2=s3),  再大的静水压力也不会引起屈服。

从另一个角度看，偏离(s1=s2=s3) 轴的应力参与计算 von Mises 应力 {s}。

从轴s1=s2=s3的角度看，von Mises 屈服准则如下所示。

在屈服面内，如前面提到的，行为是弹性的。注意多轴应力状态可以位于圆柱体内的任意处。在圆柱体边边缘(圆) 发生屈服。没有应力状态能位于圆柱体外。 强化规律描述圆柱体如何随屈服变化。

塑性流动法则:

• 塑性流动法则定义塑性应变增量和应力间的关系。

• 流动法则描述发生屈服时塑性应变的方向。

关联流动:

非关联流动:

强化准则:

因此屈服准则可写为:

式中 {s} 是偏差应力， sk是当前屈服应力。

等向强化适用于大应变、比例加载情况。 不适与循环加载。

对线性随动强化,  屈服面在塑性流动过程中进行刚体平移。

屈服后最初的各向同性塑性行为不再各向同性 (随动强化是各向异性强化的一种形式)

弹性区等于 2 倍的初始屈服应力，这称为包辛格效应。

式中 {s} 为偏差应力, sy是单轴屈服应力，{a}是后应力(屈服面中心位置)。

注意前面图中屈服面中心平移了{a}， 因此基于位置 {a}, 反向的屈服仍是 2sy。

后应力通过下式与塑性应变线性相关:

因为包括包辛格效应，所以可用于循环加载 (弹性区等于两倍的初始屈服应力。然而，应变水平相对小时(小于5-10 % 真实应变)推荐采用线性随动强化。

因为仅有一个斜率 (剪切模量), 所以由于强化是常量而不能代表真实金属。因此，对大应变应用不现实。

混合强化适用于大应变和循环加载。

混合强化模型可用于循环加载问题来模拟棘轮、调整、循环强化/软化

缺省时，所有的率无关塑性模型采用 von Mises 屈服准则，除非另外说明

双线性等向强化模型

多线性等向强化模型

双线性随动强化模型

多线性随动强化模型

对称边界设置面板

施加压力设置面板

在非线性分析中，不能直接由线性方程组求得响应。需要将载荷分解成许多增量求解，每一增量确定一平衡条件。

对于非线性问题，其平衡方程为：

ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法 克服了增量求解的问题。在每个载荷增量步结束时，平衡迭代驱使解回到平衡状态。

一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代求解。（四个迭代步如图所示）

Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程：

[KT]{Du}= {Fa} - {Fnr}

这里:

[KT]  = 切向刚度矩阵

{Du}  = 位移增量

{Fa}   = 施加的载荷矢量

{Fnr}   = 内力矢量

目标是迭代至收敛(后面定义)。

Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr）（由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。

Fa -Fnr = 0

收敛是平衡的度量。

在更新的构形中计算出内力（单元力） 。迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是:

R = Fa - Fnr

ANSYS 缺省的收敛判据是力 / 力矩和位移 / 旋转增量。

对于力 / 力矩缺省的容限是0.5%，对于位移 / 旋转增量的容限是 5% 。

经验表明这些容限对于大多数问题具有足够的精确度。缺省的设置对于广泛的工程问题既不“太紧”也不“太松”。

基于检查的位移判据只应作为力收敛判据的辅助手段使用。

只依据位移判断收敛在一些情况下将导致错误的结果。

非线性控制：

力收敛准则；力矩收敛准则；位移收敛准则；转动位移准则

收敛值：可以选择程序计算；自定义数值

收敛容差：根据需要进行定义；

最小收敛参考值：用于防止收敛准则值等于0，造成求解困难。

非线性求解可按下列三个层次组织：

载荷步

载荷步是顶层，求解选项，载荷与边界条件都施加于某个载荷步内。

子步

子步是载荷步中的载荷增量。子步用于逐步施加载荷。

平衡迭代步

平衡迭代步是ANSYS为得到给定子步（载荷增量）的收敛解而采用的方法。

• 载荷步一中有两个子步，载荷步二中有三个子步。

• 每个载荷步及子步都与 “ 时间 ”相关联。

• 对于率无关的静态分析，“ 时间 ” 表示加载次序。在静态分析中，“ 时间 ” 可设置为任何适当的值。

建模技巧:  在静态分析中，“ 时间 ”可设置为给定载荷的大小。这样将易于绘制载荷－位移曲线。

• 时间步大小可由用户设定或由ANSYS自动预测与控制。

• 自动时间步 算法可在载荷步内为所有子步预测与控制时间步长的大小（载荷增量）。

在非线性求解过程中，输出窗口显示许多关于收敛的信息。输出窗口包括：

• 力/力矩不平衡量 {R}

  FORCE CONVERGENCE VALUE

• 最大的自由度增量 {Du}

  MAX DOF INC

• 力收敛判据

  CRITERION

• 载荷步与子步数

  LOAD STEP    1   SUBSTEP    14

  EQUIL ITER 4 COMPLETED

• 累计迭代步数

  CUM ITER = 27

• 时间值与时间步大小

  TIME =  59.1250     TIME INC =   5.00000

• 自动时间步信息

  AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC =  5.0000 UNCHANGED