屈曲失稳是结构工程中一种危险的现象，载荷的小幅增加会导致突然的灾难性破坏。在这篇博文中，我们将研究一些屈曲问题，以及如何分析它们。
什么是屈曲?
你见过一个派对戏法吗，一个成年人可以在空的汽水罐上保持平衡?
尽管罐壁只有0.1毫米厚的铝，但只要它的形状是完美的圆柱形，它就能承受载荷。轴向应力低于屈服应力，只需将力除以横截面积即可轻松检查屈服应力。
但是，如果你轻轻压在圆柱表面的一个点上，罐子就会塌下来。完美气缸的折叠载荷高于表演特技的人的重量，而只有轻微的变形会显著降低承载能力。这种现象被称为缺陷敏感度并且是设计受压结构时可能存在的缺陷之一。你可以看到一些尺寸比易拉罐大得多的坍塌外壳在这一页上。
从数学上讲，屈曲是一个分叉问题。在一定的负载水平下，有多个解决方案。下面的草图显示了一个分叉点和三个不同的解决方案的可能路径，在分叉点分叉。如草图所示，次要路径可以是三种根本不同的类型。
有分叉的解。
如果承载能力继续增加，则该解决方案可以被描述为稳定的。这是最不危险的情况，但是如果你没有意识到，你可能会计算出太低的压力。因此你会低估承载能力。这中立的和易变的路径更危险，因为一旦达到峰值负载，位移就没有限制。
当有一个以上的解决方案时，就会出现哪一个是正确的问题。所有的解都会满足平衡方程，但在现实生活中，结构必须选择一条路径。它将根据能量最小化的位置来实现。使用传统线性理论计算的解通常不是首选解。
你可以把它比喻成波浪表面上的球。它可以在山顶和山谷保持平衡，但是任何扰动都会使它落入山谷。同样，即使是对结构的最小扰动也会使它跳到能量更好的状态。在现实生活中，没有完美的结构;几何形状、材料或载荷总是会有扰动。
线性化屈曲分析
处理屈曲问题最简单的方法是线性化屈曲分析。在基础工程课程中，对于简单的结构，这基本上就是你用笔和纸所做的。计算压缩支柱的临界载荷(如欧拉屈曲情况)就是这样一个例子。
在COMSOL多物理学中，有一种特殊的研究类型叫做“线性屈曲”。执行此类研究时，可以任意比例添加外部载荷。它可以是单位负荷或预期运行负荷。该研究包括两个研究步骤:
一个固定的研究步骤，计算外加载荷的应力状态。
线性屈曲研究步骤。这是一个特征值解，其中应力状态用于确定临界负荷系数。
临界载荷系数是将施加载荷乘以达到屈曲载荷所需的系数。如果您用操作载荷建模，临界载荷系数可以解释为安全系数。临界负载系数可以小于单位，在这种情况下，临界负载小于您应用的负载。这本身不是问题，因为分析是线性的。临界载荷系数甚至可以是负的，在这种情况下，屈曲所需的最低载荷与施加载荷的方向相反。
特征值解也会给出屈曲模式的形状。请注意，模式形状仅在任意比例因子内是已知的，就像本征频率分析中的本征模式一样。
在详细说明之前，有些警告是恰当的:
对于一些实际结构，由于缺陷敏感性，使用这种方法获得的理论屈曲载荷可能显著高于实际中遇到的载荷。这对薄壳尤其重要。
有些结构甚至在屈曲前就表现出显著的非线性。原因可能是几何非线性和材料非线性。
不要在屈曲分析中使用对称条件。即使结构和载荷是对称的，屈曲形状也可能不是。
两个横截面稍有不同且对称载荷相等的对称框架的屈曲形状。
线性化屈曲分析的思想是该问题可以作为线性特征值问题来解决。屈曲准则是刚度矩阵是奇异的，因此位移是不确定的。应用的负载集称为
，临界负载状态称为
，哪里
是标量乘数。全几何非线性问题的总刚度矩阵，
，可视为两项贡献的总和。一个是线性问题的普通刚度矩阵，
第二个是非线性加法，
，这取决于负载。
在线性近似中，
与负载成比例，因此
当刚度矩阵的行列式为零时，刚度矩阵是奇异的。这形成了参数的特征值问题，
。
最低特征值
是临界载荷因子，以及相应的本征模，
，显示屈曲形状。
默认情况下，只计算对应于最低临界载荷的一种屈曲模式。您可以选择计算任意数量的模式，对于一个复杂的结构，这可能会有一些兴趣。可能有几种临界载荷系数相似的屈曲模式。最低的可能与现实生活中最关键的不一致，例如，由于缺陷敏感性。
在COMSOL软件中，不应将线性屈曲研究步骤标记为几何非线性。非线性项给出
单独添加。但是，如果您选择几何非线性，您将解决以下问题:
术语λ+1中的额外“1”会自动得到补偿，因此计算的负载系数在两种情况下都是相同的。最佳规则是在预载荷研究步骤和屈曲研究步骤中使用相同的几何非线性设置。
您可以在模型中研究线性化屈曲分析的示例桁架塔的线性屈曲分析。
固定载荷和可变载荷
有时候，有一组负载，
可以认为相对于屈曲分析是固定的，而另一组载荷，
，将乘以负载系数
。然而，在计算临界负荷系数时，必须考虑两种负荷系统的组合。
数学上，这个问题可以表述为
这种问题也可以在COMSOL多物理中使用以下两种策略之一来解决:
作为屈曲后分析运行，一组载荷固定，另一组载荷上升。这很简单，但是从计算的角度来看没有必要这么重。
使用如下所述的线性屈曲研究的修改版本。
由于软件的灵活性，修改内置的线性屈曲研究并不难，这样它就可以处理两个独立的载荷系统。为此，首先添加一个额外的物理接口，该接口仅用于计算固定负载引起的应力状态。仅在静态分析中求解此界面，而不在屈曲步骤中求解。
在线性屈曲步骤中，额外的物理界面不活跃。
现在，您需要根据在第二个物理界面中计算的应力，在屈曲研究中生成额外的刚度矩阵贡献。您可以通过添加以下额外的弱贡献来实现这一点:
这里，
是来自固定载荷的应力张量，并且
和
分别是格林-拉格朗日应变张量和线性应变张量。换句话说，不同之处在于
包含格林-拉格朗日应变张量的二次项。
固定载荷系统对2D固体力学问题的贡献。
现在，您可以像往常一样运行研究序列，并且计算的临界负载系数仅适用于第二个负载系统。
后屈曲分析
通过线性化屈曲分析，你只能找到临界载荷，而不能找到达到临界载荷后会发生什么。在许多情况下，你只对确保达到屈曲载荷的安全性感兴趣，然后线性化研究可能就足够了。
然而，有时你需要完整的变形历史。其中的一些原因可能是:
结构在临界载荷之前也具有显著的非线性，因此线性化分析不适用。
你需要调查缺陷敏感度。
部件的操作有意在后屈曲状态下进行。
为了进行屈曲后分析，您需要逐步加载结构，并跟踪载荷-挠度历史。在COMSOL软件中，您可以使用参数化连续求解器来实现这一点。
做屈曲后分析不是一件小事。一个固有的问题是分叉问题有几种解决方案，那么你怎么知道你得到的解决方案是符合预期的呢?此外，在许多情况下，屈曲不稳定性将在数值上表现为病态或奇异刚度矩阵，因此求解器将无法收敛，除非您使用适当的建模技术。下面，我概述一些有用的方法。
对称结构
考虑一个简单的例子，比如顶端有压缩载荷的悬臂梁。当它达到坍塌载荷时，它可以在3D中以任意方向偏转，或者在2D中以两个可能的方向偏转。然而，求解器不太可能收敛到这些解中的任何一个，除非对称性受到干扰，因为对称问题在屈曲载荷下会变得奇异。如果你在顶端增加一个小的横向载荷，解决方案可以被追踪而没有问题。使用这种技术的示例可以在大变形梁模型。
快速解决问题
在许多情况下，这个结构会从一个状态“跳跃”到另一个状态。下面的两杆桁架结构可以展示一个简单的例子。
简单桁架结构的快速贯通分析。在挠度为0.2时，两根杆是水平的。
当力增加时，它将达到峰值。数值上，刚度矩阵将变得奇异。在物理上，该结构会突然反转，并沿着红色虚线跳到状态B。在现实生活中，这将是一个动态事件。储存的应变能将被释放并转化为动能。
解决这个问题的一种方法是实际运行时间相关分析，惯性力将平衡外部载荷和内部弹性力。然而，这种方法很少使用，因为它的计算成本很高。
要追踪绿色实线，可以用规定的位移替换规定的载荷，并记录反作用力。用规定的位移替换载荷是稳定模型的简单方法，但该方法有局限性:
它或多或少地局限于外部负载是单点负载的情况。
您指定的位移必须单调递增。
为了介绍一种更通用的方法，考虑下面的浅圆柱壳。它在中心承受单点载荷，因此在这种情况下，使用位移控制也很有吸引力。但是，如下图所示，在屈曲过程中，力和力作用下的位移都不是单调的。
浅圆柱壳和载荷与位移的曲线图。
屈曲事件的动画。
对于这样的问题，文献会建议你使用弧长解算器。流行的Riks方法就是这样一种方法，我们经常被问到为什么不在软件中添加这样一个求解器。简单的答案是我们不需要。
一旦你学会了如何做，像这样的问题实际上很容易用COMSOL Multiphysics中的延拓求解器来解决。你只需要计算出模型中单调增加的量，然后用它来驱动分析。例如，在上面的模型中，可以选择壳表面的平均垂直位移作为控制参数。
然后，您将通过全局方程将负荷强度作为问题中的额外自由度进行添加。要满足的等式是平均位移(通过平均运算符定义)应该等于连续参数(称为诊疗所在下面的截图中)。
添加全局方程来控制负载。
固定解算器设置为运行连续扫描。
您可以从下载完整的模型模型画廊。
我刚才描述的方法绝不局限于力学中的屈曲问题。它可以用于任何不稳定的问题，例如机电系统的引入分析。
缺点
偶尔，有必要对缺陷进行明确建模。例如，有一些标准规定，载荷必须具有一定的偏心率，或者梁必须具有一定的假定初始曲率。当引入缺陷时，载荷-挠度曲线将在理想分叉曲线的分支之间走“捷径”。
具有初始缺陷模型的求解路径。
当几何模型中包含对缺陷敏感的扰动时，峰值载荷可能会显著降低。这就是前面提到的场景中汽水罐的情况，这是一个物理现实，而不仅仅是有限元建模的结果。因此，考虑到这类结构的缺陷是最重要的。
具有缺陷敏感性模型的解路径。
那么你应该如何在你的模型中选择一个合适的缺陷呢?
一个好的策略是首先进行线性化屈曲分析，然后使用计算出的振型作为缺陷。这个想法是结构对这个形状最敏感。然而，捕捉精确的形状并不重要，所以你可以使用任何类似的东西。当考虑制造公差和操作条件时，扰动的大小应该与实际结构中的预期值相似。
在某些情况下，如果临界载荷系数的数量级相同，计算几种屈曲模式并尝试其中一种以上也是一个好主意。不同屈曲模式之间的缺陷灵敏度差异很大。
不是实际改变几何形状，而是使用额外的载荷更容易获得扰动。如果您这样做，您应该确保由该负载引入的应力不会显著改变问题。
