在使用旋转部件时，稳定性分析至关重要，因为不稳定性会导致灾难性故障。由于磁盘的不对称惯性、轴的不对称刚度或轴承的交叉耦合效应，旋转系统会导致不稳定的响应。从设计者的角度来看，确保潜在的不稳定模式在机器的工作范围之外是很重要的。让我们探索如何使用COMSOL Multiphysics软件预测转子系统的不稳定性。

　　什么是稳定性?

　　稳定性可以定义为系统移回到其初始平衡位置的趋势。稳定性可分为:

　　1.静态

　　2.动态的

　　让我们分别讨论这两种稳定性。

　　静稳定性是基于系统偏离平衡时的初始响应，可进一步分为以下条件:

　　* 静态稳定:扰动后，身体趋向于回到平衡位置

　　* 静态不稳定:物体倾向于继续朝着扰动的方向运动，而不是回到平衡位置

　　* 中性稳定:受扰动后，物体在扰动方向保持平衡

　　动态稳定性基于系统从其平衡位置被扰动后的运动时间历史，可进一步分为以下条件:

　　* 动态稳定:系统的运动随时间减少

　　* 动态不稳定:系统的运动随着时间而增加

　　* 动态中性:系统的运动随时间保持不变

　　这些运动也大致分为两类:振荡和非振荡。

　　不同阻尼系数值下振动运动(左)和非振动运动(右)的响应。

　　由于我们现在熟悉了基本术语，让我们进入稳定性的数学定义和系统变得不稳定的条件。

　　定义稳定性条件

　　惯性运动的一般动力学方程如下:

　　动力学方程的解可以分为四类:

　　1.无阻尼

　　2.过阻尼

　　3.欠阻尼的

　　4.临界阻尼

　　如果所有系数都是正的，控制方程的解也是有界的，并且表现良好。然而，在某些情况下，系数变成负数，解变得无界。为了理解这个问题，让我们看看弹簧-质量-阻尼器系统在各种情况下的响应，如下图所示。

　　从系统的预测响应中，我们可以说当系统的刚度变为负值时，系统是静态不稳定的，当阻尼变为负值时，系统是动态不稳定的。我们还可以从上图中指出，系统需要静态稳定，以便动态稳定。情况并非总是如此，尤其是当陀螺效应出现时。一个常见的例子是自行车，它在一定速度范围内静态不稳定，但动态稳定。

　　线性稳定性分析可用于预测系统的不稳定性。线性稳定性分析的框架包括以下步骤:

　　一旦特征值可用，稳定性就可以根据特征值的系数值来决定。

　　为了计算对数减量，可以将其写成

　　转子动力学问题的运动方程

　　转子动力学问题不同于传统的振动分析。附加项的出现是因为运动方程中存在附加加速力项，这取决于所选的物理特性。

　　在转子动力学模块，有两种方法可以处理这个问题。实心转子在旋转框架中形成，梁转子在固定框架中形成。基于所选物理，运动方程中出现的附加项和效果如下:

　　实心转子

　　实心转子在旋转框架中建模，这样就不会从该框架中观察到转子的物理旋转。旋转的影响在动量平衡方程中被解释为框架加速力。因为这个运动方程包含额外的项，所以旋转框架中的运动方程是:

　　对于实心转子，没有陀螺术语;相反，你得到离心力(刚度矩阵的对称部分)，科里奥利力(表现为阻尼矩阵的反对称部分)，欧拉力(表现为反对称刚度矩阵)，以及在刚度矩阵中作为反对称项添加的外部阻尼的贡献。

　　横梁转子

　　梁转子在固定框架中建模。旋转框架的运动方程是:

　　在梁转子中，陀螺项构成阻尼矩阵的反对称部分，内部阻尼在刚度矩阵中表现为反对称项。

　　刚度和阻尼系数如何影响转子系统

　　考虑轴与全局对齐的轴x安讯士。当地的y和z转子上的方向与全局方向相同y和z方向。

　　对于转子动力学问题，横向运动方程是耦合的;因此，它们比轴向和扭转振动方程更复杂。在本节中，我们将讨论直接刚度和交叉耦合刚度对转子横向运动的影响。让我们考虑一个两边都有对称轴承的对称转子。轴承包含直接和交叉耦合项。

　　如果我们把力写在单个方向上，这可以用矩阵形式写成:

　　直接系数

　　直接刚度项(

　　正直接阻尼项(

　　交叉耦合系数

　　如果

　　如果

　　如果

　　简而言之，产生径向力的项(直接刚度和交叉耦合阻尼)不会导致系统不稳定，而产生与旋转轨道相切的力的项会导致系统不稳定。系数的影响也因涡动模式而异。例如，如果

　  转子系统稳定性分析

　　作为一名设计师，几乎不可能创造出完美的转子，因为模型中总是存在一些不对称性。不对称可能是由于质量分布，也可能是由于形状造成的刚度。此外，转子可能会受到交叉耦合力、内部摩擦、转子摩擦和蒸汽涡动的影响。这些条件的存在会影响转子系统的稳定性。让我们调查其中几个案例…

　　轴承引起的不稳定性分析

　　在轴承中，交叉耦合力是不稳定的一个重要原因。交叉耦合力导致系统阻尼的快速损失，并导致次同步转子振动。在某些情况下，这可能导致零阻尼或负阻尼，从而使系统不稳定。

　　如果轴沿着x-轴，然后按照惯例，交叉耦合力以矩阵形式写入，如下所示:

　　A应用程序库中的模型讨论交叉耦合力引起的稳定性。该模型包括由两个轴承支撑的涡轮增压器转子:一个靠近压缩机，另一个靠近涡轮，使得压缩机和涡轮都悬在轴上。

　　对两种情况进行分析，一种没有交叉耦合力，另一种有交叉耦合力。在COMSOL Multiphysics中，有三种不同的方法来包含轴承的交叉耦合效应:

　　1.如果交叉耦合刚度已知，它可以直接指定为中的非对角刚度项轴承结节

　　2.如果力是已知的，可以在轴承节点使用力和力矩选择权

　　3.为了捕捉轴承的完全非线性效应，可以将转子模拟与流体动力轴承模拟直接耦合

　　不带(左)和带(右)交叉耦合项的对数递减。

　　在上图中，没有交叉耦合刚度时的对数衰减大部分是正的，表明自然模态是稳定的。只有在高转速下，才会有一些模式变得不稳定。在交叉耦合刚度存在的情况下，许多模式具有负对数衰减，即使在低转子速度下也是如此。

　　结果表明，交叉耦合刚度的存在使得振动模式不稳定，因此在这些速度下操作涡轮增压器转子是危险的。

　　旋转阻尼引起的不稳定性

　　听起来很奇怪，机械耗散的元素会导致不稳定，但在旋转部件的情况下，这是真的。当旋转阻尼附着在车身上时，它位于旋转框架中。在静止框架中进行坐标变换后，它不再仅仅依赖于速度。转化产生耗散项和循环项，这取决于转子速度和位移。循环术语是造成不稳定的原因之一。

　　让我们考虑拉瓦尔-杰弗科特转子，它由无质量轴和单个圆盘组成，两端由两个相同的轴承支撑，具有对称的阻尼和刚度。现在，如果旋转阻尼效应也包括在系统中，循环项出现在控制方程中并导致不稳定。

　　为了进一步研究效果，让我们画一个系统的力图。从力图中可以清楚地看出，圆形项在向前旋转的运动方向上产生力。这意味着循环项正在给系统增加能量，而由外部阻尼引起的耗散项不断地从系统中移除能量。

　　从力图中，我们可以说条件

　　上图比较了有和没有内部阻尼的转子模型。交叉耦合项产生的力本质上是非保守的。内部阻尼作为交叉耦合项贡献于刚度矩阵，这取决于速度，因此对数衰减不是恒定的，而是随速度变化的。对数减量是针对两种初始模式绘制的，即正向模式和反向模式。零自旋时，两种模式具有相同的对数衰减。随着速度的增加，后向旋转的对数递减增加，前向旋转的对数递减减少，最后变为负值。这证实了交叉耦合项稳定了反向旋转，并使正向旋转不稳定。

　　如果我们进行频域分析，结果与没有阻尼的情况相同，并且旋转是圆形的。这意味着模型中只有正向旋转。

　　旋转阻尼引起的交叉耦合项仅影响阻尼特性，而不改变系统的响应。现在，如果我们看坎贝尔图，自然频率不再是一个恒定值，或者如果存在内部阻尼，它会随着速度而增加。在内部阻尼的情况下，或者如果我们想用坎贝尔图找到不稳定性阈值，这种效应会增加阻尼临界速度。然后，我们可以画一条线

　　蒸汽涡动引起的不稳定性

　　蒸汽涡动发生在轴流式机器中，如燃气轮机，当轴的径向位移是沿圆周泄漏的结果时。这建立了垂直于位移的合力。激振力给一些操作条件带来不稳定性，给另一些操作条件带来稳定性。蒸汽旋转力以不对称的方式增加了刚度项，如内部阻尼，但不依赖于旋转速度。

　　从力图中，我们可以看到稳定性阈值是什么时候

　　让我们考虑拉瓦尔-杰弗科特转子，由于不对称项，系统最初是不稳定的。如果我们在系统中引入外部阻尼，对数衰减会向零移动，最终变为正值。通过增加外部阻尼值，可以增加系统不稳定性阈值的频率值。

　　结束语

　　在这篇文章中，我们讨论了稳定性的类型、阻尼系数和刚度矩阵对系统响应的影响、固体转子和梁转子物理的控制方程、利用特征频率分析预测系统不稳定性的方法以及导致转子系统不稳定性的一些应用。