构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。当载荷小于某一个临界力Fcr，如图 (b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。当压力F 等于临界力Fcr 时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f 作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。但当压力F 超过临界力Fcr 时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr 表示。为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，所用临界压力为压杆的极限承载能力，压杆稳定问题的研究主要是确定杆件的临界压力。在理论分析中，主要讨论理想中心受压直杆的稳定问题，材料满足均匀、连续、各向同性假设，杆件为等截面直杆，压力与杆轴线重合，没有偏心。两端铰支中心受压的直杆如图 (a) 所示。设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图 (b) 所示，任意截面的内力如图 (c) 所示。
设杆件受到压力为临界压力，杆件处于微弯平衡状态。取压力F 的绝对值，挠度w 为正，弯矩M 为负（若挠度为负，则弯矩为正），弯矩与挠度的符号相反，截面上的轴力和弯矩
使杆件保持微小弯曲变形平衡状态的最小载荷（使杆件失稳的最小载荷）称为临界力，当取n=1时，得到杆件的临界压力此即计算两端（球）铰支压杆临界力的表达式，称为欧拉公式。可见，临界力与弯曲刚度成正比，与杆长的平方成反比。压杆的临界压力是使杆件失稳的最小载荷，杆件两端约束为球铰支，杆件可以绕任意方向转动，故公式中截面的惯性矩应取截面的最小惯性矩（形心主惯性矩的最小值）。当挠度方向向下为正时，如图所示，弯矩与挠度符号一致，挠曲线的二阶导数与弯矩符号相反在上面的讨论中，认为压杆轴线是理想直线，压力作用线与轴线重合，材料是均匀的。这些都是理想情况，称为理想压杆或理想柱。实际压杆难免有初弯曲、压力偏心、材料不均匀等情况。可以设想，这些缺陷相当于压力有一个偏心距e，这就使压杆很早就出现弯曲变形。所以，实验结果大致如下图曲线，折线OAB可看作极限情况。如图所示一端固定，一端自由的细长压杆，设杆端的挠度为δ，如图坐标系中，弯矩与挠度的符号一致，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x 截面的弯矩为如图所示两端固定细长压杆，坐标系中弯矩与挠度的符号相反，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x 截面的弯矩为
如图所示为一端固定，一端铰支细长压杆。坐标系中，弯矩与挠度的符号相反，挠曲线二阶导数与弯矩符号一致，x截面的弯矩为
从上图可以看出，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，把挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，用几何类比的方法，可以求出其临界力。一端固定、一端自由的压杆，与长为2l 的两端铰支压杆变形相当；两端固定压杆的挠曲线上有两个拐点，该处弯矩为零，与长为0.5l 的两端铰支压杆相当；一端固定、一端铰支的压杆，约与长为0.7l 的两端铰支压杆相当。可以把以上不同约束情况计算临界压力的欧拉公式写成统一形式其中，μ 称为长度因数，μl 称为相当长度（折算成两端铰支压杆的长度）。显然，长度因数随杆端的约束增强而减小，临界压力随杆端约束增强而增大。欧拉公式的推导中应用了线弹性小变形微分方程，因此欧拉公式只适用于弹性稳定问题。另外，上述各种长度因数都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，长度因数一般在0.5与1之间。
