非线性系统的运动现象——蝴蝶效应

1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做6次乘法。

经简化后的洛仑兹气象模型为:

为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。

洛仑兹吸引子（奇怪吸引子）

自由单摆的运动方程：

当θ很小，线性近似：

级数展开，取第一项而得。

若θ为任意值，sinθ≠θ。而sin(θ1+θ2)≠sinθ1+sinθ2，故自由单摆为非线性振动系统：

令，以及t=0，ω=ω0，θ=θ0，则上式变为

方程解的非唯一性：设初始条件为θ0=±π，ω0=0，则其解为：

运动分析：

在最高点θ=±π，ω=0，

系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：

1. 停留在该顶点，尔后径直下落；

   
   

2. 调头沿原路返回；

   
   

3. 越过该顶点继续向前运动。

类似地，当令θ0=0，，则解为

最高点(θ= ±π)，非稳平衡，运动非唯一性。

对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作用的阻尼单摆）：

一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。

结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。

例如，上述非线性单摆的运动。支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。

混沌定义（物理学上）：在确定性系统中所表现出来的内在随机行为。是一个决定论的系统中所存在的运动的不可预测性。

描述系统运动的各状态参量之间的关系图。

例：自由单摆（简谐振动）

简谐振动是周期运动，每隔一定的时间运动又复原，所以相轨线为一闭合曲线。

不显含时间 t 的动力学方程称为自治系统，而显含时间 t 的动力学方程称为非自治系统。

由线性单摆方程可得（角谐振动）：

不显含t ，在二维相空间中为自治系统。

由受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程可得

显含t ，在二维相空间中为非自治系统。

引入新变量 Φ= Ω t ，可将方程化为三维相空间中的自治系统：

自治系统的相空间与相轨线：

一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的。而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二维相平面上相轨线有相交情况。

若沿Φ方向截取一系列截面，则根据该自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一个截面。

因Φ=Ωt=2nπ，若以2π 为周长，将相空间弯成一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为庞加莱截面。

三维相空间

环形相空间

相轨线在庞加莱截面上的交点的集合就称为庞加莱截面图。

通过分析相轨线在庞加莱截面上的交点的分布规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程中系统的运动规律。

讨论：

单周期振动，每隔2π运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过庞加莱截面，在庞加莱截面图上只有一个不动点；

倍周期的运动，庞加莱截面图上有两个不动点；…。

运动无周期性，则庞加莱截面图上有无穷多个点。

按泰勒级数

取前两项近似，适当代换，得到非线性振动方程（杜芬方程）

讨论运动的演变：

令 β=0，退化为线性方程

三种情况：

• f = δ =β = 0

  
  

• f = β=0

  
  

• β = 0

相应得出简谐振动、阻尼和受迫振动方程。

简谐振动的相轨线：闭合圈---周期环---。

阻尼振动的相轨线：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点---不动点吸引子--- 。

受迫振动：经过暂态之后趋于一稳定的闭合圈---周期吸引子或极限环。

方程代表复杂的非线性振动系统。

为简化问题，在四个参数中只改变 f 的值。数值模拟发现，随着 f 的逐渐增大，该振动系统产生了由简单的周期运动到出现倍周期分岔，再进入混沌的演化过程。

从周期运动到倍周期分岔：

• 当 f = 0.8，系统的运动仍是一个简单的周期运动。

  
  

• 当 f =0.89，其结果为一个二倍周期的运动，即出现了倍周期分岔。

说明：图中看上去的每一条曲线实际上是完全重合的两条曲线，它们的初始值略有差异：

x0=1，υ0=0；

x0=1.001，υ0=0.001.

结论：

初始条件的微小差别对周期性运动不产生影响，或者说周期运动对初值不敏感。

混沌运动

继续增大 f，当f=1.3，随机性运动取代了周期性运动，表明系统已进入混沌状态。

注意：上图(a)中的两条运动曲线的初值分别为x0=1，υ0= 0和x0=1.00001，υ0=0.00001。误差仅在小数点后面第五位上，而给运动带来的差别正可谓“差之毫厘，失之千里”。

处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，称这一特性为混沌的初值敏感性。

蝴蝶效应：

运动的随机性：图(b)反映出混沌运动的随机性。即相轨道(运动状态)完全不可预测。

混沌的内在规律性----混沌吸引子

图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的庞加莱截面图[(c)和(d)]却又是完全相同的。把混沌的相轨线在庞加莱截面上的这种点集称为混沌吸引子。

混沌吸引子是非线性耗散系统混沌的特征，表明耗散系统演化的归宿。代表混沌行为的全局特征。

混沌吸引子体现出混沌运动的内存规律性。

初值悬殊的三个吸引子

结论：

混沌行为具有极为敏感的初值依赖性，然而混沌的全局特征——混沌吸引子却具有不依赖于初值的、确定的规则。貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定的规律---混沌运动的内在规律性。这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。

周期窗口

在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区中的周期窗口。

如继续增大 f ，当 f =1.53，则出现一个三倍周期的运动---周期三窗口。

当 f =1.75时，系统又再次进入混沌状态。

利用最简单的非线性方程作进一步分析（抛物线方程）：

令y=xn+1，x=xn，得抛物线形迭代方程

在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周期分岔，再进入混沌状态的整个演化过程。

倍周期分岔序列：1→2→4→8→2n→...→∞

当n→∞，则解的数目→∞，意味着系统已进入混沌状态。将混沌开始时对应的μ记为μ∞ ( μ∞=1.40115518909205... )。

• 准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌。

  
  

• 阵发混沌道路。

混沌区的结构：

a. 窗口

在混沌区中重又出现的周期性运动。窗口中包含着与整体完全相似的结构。

框内部分放大得下图

框内部分放大得下图

b. 自相似结构

看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结构。任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整体完全相似的规律。在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为自相似性。

从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。

混沌带的合并 --从逆着混沌演化的方向，可找到混沌带合并的规律：

∞→...2n→...→16→8→4→2→1→0

c. 普适性

若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数μ记为μn，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：

注意：

• 常数δ并不只限于单摆公式，而是对所有同一类的变换，所得的δ值都精确地相同。

  
  

• δ的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关。

  
  

• 反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性。

  
  

• 是混沌内在规律性的另一个侧面反映。

标度因子

在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常数α，称为标度因子或普适常数：

例如，图中

注意：当不满足n→∞，则比值只是近似的。