1   概述

结构有限元分析中，最基础、最根本、最关键、最核心同时也是最重要的一种分析类型就是“结构静力学分析”。静力学分析可用于与结构相关、与流体相关、与电磁相关以及与热相关的所有产品；静力学分析是有限元分析的根基，是有限元分析的灵魂。

2   基础理论

结构静力学按照矩阵的形式可表示为微分方程：

[K]{x}+{F}=0

其中，[K]代表刚度矩阵，{x}代表位移矢量，{F}代表静载荷函数。

由此可知，结构静力学有限元分析过程就是求解微分方程组的过程。

2.1      三个矩阵的说明

静力学分析微分方程组三个矩阵进一步说明：

[K]代表刚度矩阵。举例说明，如果用手折弯一根筷子，假设筷子是钢材料的，比较硬，很难折断；假设筷子是常规木材的，比较脆，基本上都能折断。这里筷子断与不断的本质并不是钢或者木材，而是钢或者木材表在筷子上表现出来的刚度（或者叫硬度），这里刚度用计算机数值分析的方式来描述，就是刚度矩阵。

{x}代表位移矢量。举例说明，一把椅子，如果有人偏瘦，坐在椅子上，椅面基本不下沉；如果有人偏胖，坐在椅子上，椅面会有明显下沉（谁坐谁知道...），此时，椅面的下沉量，可用位移矢量来表示。

{F}代表静载荷函数，也是静力学分析的关键。举例说明，上面筷子例子中，手腕对筷子的作用，就是一种载荷（或者叫外力、荷载、负荷、承重等）；上面椅子例子中，人对椅子表面的作用，也是一种载荷。这些载荷在大多数情况下，没有明显的快慢效应，就可用静载荷函数来表示。

2.2      静力学分析中的载荷说明

静载荷函数本质说明：

假设1，相同一根筷子，又假设筷子比较粗（或者说是几根筷子捆绑在一起）：双手慢慢用力，筷子难断；双手快速用力，筷子难断，此时慢慢折弯的效果就可以理解为静力学过程。

假设2，相同椅子：慢慢坐下去，椅子没有明显晃动；快速坐下去，椅子没有明显下沉与晃动，此时慢慢坐在椅子上的过程就可以理解为静力学过程。

通过静载荷函数解释过程，可明显发现静力学分析过程有如下特征：

特征1，描述受力过程时总是假设在某种情况下；

特征2，施加给结构的外力有快慢与方式的区别。

因此，一个结构静力学分析过程，就是在一种假设的情况下（工况），又假设结构在某种受力状态下，不考虑时间效应、不考虑惯性效应以及不考虑阻尼效应的一种理想情况下的结构分析过程。

3   实例展示

3.1      实例说明

假设一钢制悬臂梁结构（钢的基本材料属性假设为弹性模量=200GPa，泊松比=0.3，屈服强度235MPa，悬臂梁基本尺寸为300*50*16mm），其一端固定，另一端顶部放置70Kg的物体；研究悬臂梁在重物的作用下的 挠度变化量（变形）以及强度分析。几何模型与网格模型如下所示：

图1 几何模型图

图2 网格模型图

3.2      分析思路与求解过程要点说明：

0需求，悬臂梁一直承受顶部重物带来的重力，故其外载荷没有明显的时间效应，可选择静力学分析类型；

1分析过程中，需要指定悬臂梁为钢结构，并且保证一端固定（必须可承受重物的反力）；

2选择合适单元类型，并采用合适的网格技术得到悬臂梁合适的网格划分，确保网格划分后的有限元网格模型与实际悬臂量模型接近；

3选择合适的计算机设备求解；

4对求解结果进行合理性判断

4   实例结果与讨论

有限元静力学计算后的悬臂梁刚度与强度结果如下

图3 悬臂梁变形分布图

图4 悬臂梁等效应力分布图

 通过分布图上的图形示意以及不同云图对应颜色标示的数字可知：悬臂梁最大变形量为2.0mm，发生在悬臂梁的末端；悬臂梁最大应力152MPa，发生在悬臂梁固定端（约束端）附近。

4.1      结果判断与讨论

悬臂梁最大变形量约为2.0mm，其特征长度约为300mm，比例约为0.7%，故悬臂梁满足一般性挠度设计要求

悬臂梁最大应力约为152MPa，其许用应力235*0.8=188MPa，最大应力小于许用应力，故悬臂梁满足一般性强度设计要求

5   总结与说明

5.1      总结

要点1：所有静力学分析都是在假设的情况下计算，所以需要工程师具备一定专业基础（这里指产品设计的专业基础）

要点2：静力学计算由于没有惯性等效应，所以计算模型必须满足空间上至少三个方向自由度约束

要点3：静力学计算结果一般都是初步计算结果，其数据为设计提供参考，但是不能决定产品设计。

5.2      说明

静力学分析选用软件建议：ansys、abaqus、adina、nastran等通用有限元分析皆可，结果精度主要依赖于工程师对结构设计的理解，与软件选择无关。